Sinussatz; Existenz zweier Lösungen?

[Klaus Eichler]

Hallo,

bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer Umlaufsinn
(statt ABC im ersten Fall ergibt sich bei Lösung zwei der Umlaufsinn ACB).
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann dann
von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?

Viele Grüße aus Ostwestfalen
Klaus

[Juergen Schulz]

Post by Klaus Eichler
Hallo,
bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer Umlaufsinn
(statt ABC im ersten Fall ergibt sich bei Lösung zwei der Umlaufsinn ACB).
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann dann
von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?

Bei mir gibt es zum Dreieck b=6; c=7; beta=35° zwei Lösungen. Und zwar
ohne Änderung des Umlaufsinnes:
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Jürgen

[kilian heckrodt]

Post by Klaus Eichler
Hallo,
bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer Umlaufsinn
(statt ABC im ersten Fall ergibt sich bei Lösung zwei der Umlaufsinn ACB).
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann dann
von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?
Viele Grüße aus Ostwestfalen
Klaus

Hallo Klaus !

Die 2 Loesungen, die man mit dem Sinussatz erhaelt entsprechen den
2 Loesungen des SSW-Falles bei dem der Winkel _nicht_ der groesseren
Seite gegenueberliegt. Die Umlaufsinn bzw. die Bezeichnung der Ecken
ist in beiden Faellen gleich.

Der Fall einer "zweiten Loesung" durch andere Orientierung ergibt sich
in gewisser Weise zu jeder eindeutigen Loesung durch Reflektion an einer
Dreieckseite (in deinen Fall an c).
Die Faelle sind natuerlich zum urspruenglichen Dreieck kongruent
(Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung), deswegen spricht man auch
ohne Betrachtung der Orientierung nur von einer Loesung (und
Dreickkonstruktion sind in diesem Sinne immer nur bis auf Kongruenz
eindeutig).

Um aus der Eindeutigkeit bis auf Kongruenz eine echte Eindeutigkeit
(d.h. 3 bestimme Eckpunkte in der Ebene) zu machen, kann man natuerlich
einen Punkt (durch seine Koordinaten) und den Umlaufsinn fixieren.

Aber die durch den Sinussatz enstehende zweite Loesung hat wie oben
schon erlaeutert nichts mit der Orientierung zu tun, dies sind 2
nicht kongruente Dreiecke (aber durchaus mit gleicher Orientierung).

[Joachim Mohr]

Post by Klaus Eichler
Hallo,
bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer Umlaufsinn
(statt ABC im ersten Fall ergibt sich bei Lösung zwei der Umlaufsinn ACB).
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann dann
von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?
Viele Grüße aus Ostwestfalen
Klaus

Nein: Siehe Loading Image...
Konstruiert mit http://delphi.zsg-rottenburg.de/ttgeo.html
Menü: "Dreieck|Dreieck aus 3 gegebenen Stücken konstruieren"

MFG Joachim

[kilian heckrodt]

Post by Joachim Mohr

Post by Klaus Eichler
Hallo,
bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer
Umlaufsinn (statt ABC im ersten Fall ergibt sich bei Lösung zwei der
Umlaufsinn ACB).
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann
dann von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?
Viele Grüße aus Ostwestfalen
Klaus

Nein: Siehe http://delphi.zsg-rottenburg.de/002/2.gif

Das muesste doch "ja" heissen (als Antwort auf seine Frage)
Ja, auch der Umlaufsinn auf ABC festgelegt gibt es 2 Loesungen
(wie in deiner Zeichnung zu sehen)

Post by Joachim Mohr
Konstruiert mit http://delphi.zsg-rottenburg.de/ttgeo.html
Menü: "Dreieck|Dreieck aus 3 gegebenen Stücken konstruieren"
MFG Joachim

[Friedrich Hattendorf]

Post by Klaus Eichler
Nun meine Frage: Wenn der Umlaufsinn im Dreieck ABC ist, kann mann dann
von der Existenz einer zweiten LÖsung sprechen?

(abgesehen davon, dass dies auf dein Beispiel nicht zutrifft)

IMHO ist diese Diskussion so ein bisschen der Streit um Kaisers Bart.

Spätestens, wenn Teildreiecke ins Spiel kommen, sind oft beide Lösungen
Bestandteil von nicht symmetrischen Gesamtlösungen.

Bespiel: h_c = 5 cm; s_c = 6cm; b = 7cm

Zwar liefert hier SsW für das Teildreieck aus h_c, s_c und rechtem Winkel
eine eindeutige Lösung. Aber je nach Ansatz ergibt sich das (Teil-)Dreieck
<Delta>H_cM_cC oder <Delta>M_cH_cC.
Und damit ergeben sich zwei wirklich verschiedene Lösungen.

Siehe folgende geogebra-Dateien:

www.hattendoerfer.de/friedrich/geo/Beispiel_orientierung.html
www.hattendoerfer.de/friedrich/geo/Beispiel_orientierung.png
www.hattendoerfer.de/friedrich/geo/Beispiel_orientierung.ggb

mfg
Friedrich Hattendorf

[Hans Steih]

Post by Klaus Eichler
Hallo,
bei Aufgaben zum Sinussatz wird manchmal gefragt, ob zwei Lösungen
existieren (z.B. es sei b=6cm; c=7cm und beta=35Grad).
Nun kann man zwei verschiedene Dreiecke mit den angegebenen Maßen
konstruieren; aber im zweiten Dreieck ergibt sich ein anderer Umlaufsinn

???
In diesem Fall ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfuellt ("Zwei Dreiecke
sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seitenlaengen und der
Groesze des Winkels uebereinstimmen, der der laengeren der beiden Seiten
gegenueberliegt"), also kann man *nicht* *davon* *ausgehen*, dass ein
zugehoeriges Dreieck *eindeutig* konstruierbar ist.

Es kann dann folgende Situation vorliegen:
(A) Das Dreieck ist nicht konstruierbar/existent.
(B) Es gibt zwei nicht-kongruente Loesungen.
(C) Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, weil die kuerzere Seite
Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist.

Mit den angegebenen Maszen liegt der Fall (B) vor.

Ein Dreieck, das sich "nur" im Umlaufsinn von einem vorgegebenen Dreieck
unterscheidet, ist zu diesem kongruent und wird deswegen
"ueblicherweise" nicht als "zweite" Loesung bezeichnet.

Wenn man den Sinussatz zur Bestimmung einer Winkelgroesze benutzt, muss
man formal immer von zwei Loesungen ausgehen:

sin(alpha) = t und 0 < t < 1 und 0° < alpha < 180°

<=> ( alpha = arcsin(t) oder alpha = 180° - arcsin(t)),

denn sin(phi) = sin (180° - phi)

Schaue man sich zum Beispiel Dreieck ABC mit a=4, b=3 und c=6 einmal an:
(Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, da SSS erfuellt ist!)

Wenn man (z.B.) mit dem Kosinussatz zunaechst alpha =c.a. 36.33°
herleitet, ist

arcsin ((c/a)*sin(alpha)) =c.a. 62,72° gerade die *falsche* Loesung fuer
gamma!

Dass 180° - 62,72° die Loesung sein muss, ergibt sich daraus, dass beta
< alpha gelten muss, da nach Voraussetzung b < a richtig ist.

Post by Klaus Eichler
Viele Grüße aus Ostwestfalen

Gruesze vom Niederrhein
Hans