Beweis

[Steffen Kupka]

Hallo,

ich habe eine kleine Frage.
Gibt es in einem Drachen einen Innkreis?

Vielen Dank
Steffen

[Markus B]

Hallo!

Ja.
Denn ein Tangentenviereck - das ist ein Viereck, dessen vier Seiten
Tangenten an einen Kreis sind, der demzufolge der Inkreis desselben ist -
ist so definiert, daß die Summe der jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich
ist, also a + c = b + d gilt. Und das gilt auch beim Drachenviereck, denn
eine wesentliche Eigenschaft dieses Vierecks ist, daß bei jeder Seite eine
benachbarte Seite die gleiche Länge hat (also im allgemeinen, d.h. das
Drachenviereck ist nicht gleichzeitig auch noch eine Raute oder gar ein
Quadrat, besitzt es zwei Paare benachbarter und gleichlanger Seiten).
Aufgrund dieser Eigenschaft sind dann natürlich auch die Summen der Längen
einander gegenüberliegender Seiten gleich. D.h. jedes Drachenviereck ist ein
Tangentenviereck und besitzt einen Inkreis.

Übrigens weiß ich nicht, ob die Eigenschaft des Drachenvierecks, daß bei
jeder Seite mind. eine benachbarte Seite gleich lang sein muß, seine
Definitionseigenschaft ist. Kann mich da vielleicht jemand aufklären? Ist
nicht eigtl. die definierende Eigenschaft des Drachenvierecks zunächst
einmal, daß sich die Diagonalen senkrecht schneiden? Wie kann man denn von
da aus auf die Existenz eines Inkreises schließen? Bzw. auf die von mir o.g.
Eigenschaft, aus der ja dann, wie gezeigt, die Existenz des Inkreises folgt?


Markus Baur


P.S. Noch ein paar nützliche Formeln zum Tangentenviereck als Anmerkung:
1.) Fläche = 1/2 * Umfang * Inkreisradius
2.) Umfang = 2 * (a + c) = 2 * (b + d) [ <-- Klar, wegen oben gesagtem. ]

[Friedrich Hattendorf]

Post by Markus B
Hallo!
Ja.
Denn ein Tangentenviereck - das ist ein Viereck, dessen vier Seiten
Tangenten an einen Kreis sind, der demzufolge der Inkreis desselben ist -

das ist IMHO die Definition des Tangentenvierecks

Post by Markus B
ist so definiert, daß die Summe der jeweils gegenüberliegenden Seiten
gleich ist, also a + c = b + d gilt.

Das dürfte nirgends Definition sein. IMHO sollte es (falls richtig- wäre zu
beweisen) überall als Satz gelten.

Post by Markus B
Und das gilt auch beim
Drachenviereck, denn eine wesentliche Eigenschaft dieses Vierecks ist, daß
bei jeder Seite eine benachbarte Seite die gleiche Länge hat (also im
allgemeinen, d.h. das Drachenviereck ist nicht gleichzeitig auch noch eine
Raute oder gar ein Quadrat, besitzt es zwei Paare benachbarter und
gleichlanger Seiten). Aufgrund dieser Eigenschaft sind dann natürlich auch
die Summen der Längen einander gegenüberliegender Seiten gleich. D.h.
jedes Drachenviereck ist ein Tangentenviereck und besitzt einen Inkreis.
Übrigens weiß ich nicht, ob die Eigenschaft des Drachenvierecks, daß bei
jeder Seite mind. eine benachbarte Seite gleich lang sein muß, seine
Definitionseigenschaft ist. Kann mich da vielleicht jemand aufklären? Ist
nicht eigtl. die definierende Eigenschaft des Drachenvierecks zunächst
einmal, daß sich die Diagonalen senkrecht schneiden?

Nein!
Gegenbeispiel: Viereck A(2|0); B(8|4);C(2|6); D(0|4)
Diagonalen sind senkrecht, ist aber kein Drachen.

Es gibt wohl einige Definitionen:
----
- http://mathworld.wolfram.com/Kite.html
A planar convex quadrilateral consisting of two adjacent sides of length a
and the other two sides of length b
----
Lt. Lexikon der Schulmathematik setzt sich ein Drachenviereck aus zwei
gleichschenkligen Dreiecken mit gleicher Basis zusammen
----
Ich kenne noch : Viereck mit einer Symmetrieachse (Woher?)
----
Von den letzten kommt man recht einfach auf den Inkreis.

(Ein Kreis, der beide Schenkel eines Winkels berührt, hat seinen Mittelpunkt
auf der Winkelhalbierenden)
1. Mittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse. OBdA sei AC die
Symmetrieachse.
2. die Winkelhalbierenden zu einem Winkel \beta bzw. \delta schneiden AC im
Inkreis-Mittelpunkt.

Viele Grüße
Friedrich Hattendorf

[Markus B]

Vielen Dank für die Aufklärung!

Ich meinte natürlich:
"Ist nicht eigtl. die definierende Eigenschaft des Drachenvierecks zunächst
einmal, daß sich die Diagonalen senkrecht schneiden" UND gegenseitig
halbieren.

Markus Baur

[Thomas Gabler]

Post by Markus B
Vielen Dank für die Aufklärung!
"Ist nicht eigtl. die definierende Eigenschaft des Drachenvierecks zunächst
einmal, daß sich die Diagonalen senkrecht schneiden" UND gegenseitig
halbieren.

Nein, denn dann wärs eine Raute.

Bei uns am Bayerischen Gymnasium ist ein Drachenviereck definiert als
ein Viereck, das eine Symmetrieachse durch zwei (Gegen-)Ecken hat.

Oder um deine Definition richtig zu stellen: Ein Viereck, bei dem eine
Diagonale auf der anderen senkrecht steht und von dieser halbiert wird.

Tom

[Markus B]

Hallo!

Ja.
Denn ein Tangentenviereck - das ist ein Viereck, dessen vier Seiten
Tangenten an einen Kreis sind, der demzufolge der Inkreis desselben ist -
ist so definiert, daß die Summe der jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich
ist, also a + c = b + d gilt. Und das gilt auch beim Drachenviereck, denn
eine wesentliche Eigenschaft dieses Vierecks ist, daß bei jeder Seite eine
benachbarte Seite die gleiche Länge hat (also im allgemeinen, d.h. das
Drachenviereck ist nicht gleichzeitig auch noch eine Raute oder gar ein
Quadrat, besitzt es zwei Paare benachbarter und gleichlanger Seiten).
Aufgrund dieser Eigenschaft sind dann natürlich auch die Summen der Längen
einander gegenüberliegender Seiten gleich. D.h. jedes Drachenviereck ist ein
Tangentenviereck und besitzt einen Inkreis.

Übrigens weiß ich nicht, ob die Eigenschaft des Drachenvierecks, daß bei
jeder Seite mind. eine benachbarte Seite gleich lang sein muß, seine
Definitionseigenschaft ist. Kann mich da vielleicht jemand aufklären? Ist
nicht eigtl. die definierende Eigenschaft des Drachenvierecks zunächst
einmal, daß sich die Diagonalen senkrecht schneiden? Wie kann man denn von
da aus auf die Existenz eines Inkreises schließen? Bzw. auf die von mir o.g.
Eigenschaft, aus der ja dann, wie gezeigt, die Existenz des Inkreises folgt?


Markus Baur


P.S. Noch ein paar nützliche Formeln zum Tangentenviereck als Anmerkung:
1.) Fläche = 1/2 * Umfang * Inkreisradius
2.) Umfang = 2 * (a + c) = 2 * (b + d) [ <-- Klar, wegen oben gesagtem. ]

[Joachim Mohr]

Post by Steffen Kupka
Hallo,
ich habe eine kleine Frage.
Gibt es in einem Drachen einen Innkreis?

Ja!
Beweis und Konstruktion:
Sei im Drachen ABCD BD die Symmetrieachse.
Diese ist auch Winkelhalbierende.
Die Winkelhalbierenden von Winkel BAD und BCD schneiden sich
aus Symmetriegründen auf der Achse. Dies ist der Inkreismittelpunkt.


MFG Joachim Mohr