Blöde Extremwertaufgabe

[Thomas Weisbach]

Mein Sohn kam mit folgender Aufgabe gestern aus der Schule und ich muss
gestehen, wir finden die Lösung nicht... IMHO fehlt da was, um das zu
berechnen...

Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie
müssen die Abmessungen gewählt werden, damit die Ummauerungskosten bei
einer Tunnellänge von 200 m möglichst gering werden?

Die Länge des Tunnels ist eigentlich egal, da die Kosten natürlich
minimal werden, wenn der Umfang des Tunnels möglichst klein wird...

Rechteck mit Seiten a und b, wobei a die Breite des Tunnels ist. Damit
ergibt sich als Hauptfunktion:

u = 2*b + a + 0,5*Pi*a

Tja, und nun fehlt mir irgendeine Nebenbedingung... Oder übersehen wir was?
Okay, wir könnten natürlich unausgesprochen davon ausgehen, dass der
Tunnel eine bestimmte Querschnittsfläche haben soll, aber das steht in
der Aufgabe nicht drin...

Aber versuchen wir es doch mal...

A = a*b + (Pi*a^2)/8

damit ergibt sich: b = A/a - (Pi+a)/8

In obige Gleichung für u einsetzen und nach a differenzieren:

u' = -2*A/a^2 + Pi/4 + 1

Null setzen und nach a auflösen:

a = sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))

Für b ergibt sich dann:

b = A/sqrt(Pi/4 + 1) - Pi/8 * sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))

Schön sieht die Lösung nicht aus... Haben wir uns verrechnet?

Wenn ich für A dann mal irgendeinen Wert nehme und ausrechne, ergibt
sich etwa a = 2b... Das erschließt sich mir aus den abstrakten Formeln
für a und b jedoch nicht... ;-)

[Friedrich Hattendorf]

Thomas Weisbach wrote:

...

Post by Thomas Weisbach
a = sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))
b = A/sqrt(Pi/4 + 1) - Pi/8 * sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))
Schön sieht die Lösung nicht aus... Haben wir uns verrechnet?
Wenn ich für A dann mal irgendeinen Wert nehme und ausrechne, ergibt
sich etwa a = 2b... Das erschließt sich mir aus den abstrakten Formeln
für a und b jedoch nicht... ;-)

Habt ihr mal versucht, zu überprüfen, ob a = 2b gilt?
also:
sqrt(2*A/(Pi/4 + 1)) = 2*[ A/sqrt(Pi/4 + 1) - Pi/8 * sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))]
und dann vereinfachen

mfg
Friedrich Hattendorf

[Thomas Weisbach]

Post by Friedrich Hattendorf
Habt ihr mal versucht, zu überprüfen, ob a = 2b gilt?

Danke für den Tip!

Allerdings habe ich mich im Ausgangsposting bei b vertipert...

Folgende Terme müssten für sich a bzw. b ergeben:

a = sqrt(2A/(Pi/4 + 1))

b = A/sqrt(2A/(Pi/4 + 1)) - Pi/8 * sqrt(2A/(Pi/4 + 1))

Und tatsächlich ist a = 2b... Faszinierend!

Bleibt also die Feststellung, dass bei dieser Aufgabe die wichtige
Angabe fehlt, dass der Querschnitt des Tunnels gegeben sein soll...

[Ulf Milanese]

Hallo,

Post by Thomas Weisbach

Post by Friedrich Hattendorf
Habt ihr mal versucht, zu überprüfen, ob a = 2b gilt?

Danke für den Tip!
Und tatsächlich ist a = 2b... Faszinierend!
Bleibt also die Feststellung, dass bei dieser Aufgabe die wichtige
Angabe fehlt, dass der Querschnitt des Tunnels gegeben sein soll...

Da kann man sich jetzt drüber streiten, ob diese Angabe tatsächlich
fehlt. Denn das Ergebnis ist für alle Tunnel mit dieser Konstruktion
gültig, d.h. A ist für die Berechnung nicht relevant. Vielleicht hatte
der Mathematik-Lehrer genau diese Intention im Hinterkopf, als er die
Aufgabe gestellt hatte? Wer weiß...

Grüße
Ulf

[Christian Möller]

Post by Thomas Weisbach
Mein Sohn kam mit folgender Aufgabe gestern aus der Schule und ich
muss gestehen, wir finden die Lösung nicht... IMHO fehlt da was, um
das zu berechnen...
Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen die Abmessungen gewählt werden, damit die
Ummauerungskosten bei einer Tunnellänge von 200 m möglichst gering
werden?
Die Länge des Tunnels ist eigentlich egal, da die Kosten natürlich
minimal werden, wenn der Umfang des Tunnels möglichst klein wird...
Rechteck mit Seiten a und b, wobei a die Breite des Tunnels ist. Damit
u = 2*b + a + 0,5*Pi*a
Tja, und nun fehlt mir irgendeine Nebenbedingung...

Richtig. Wenn es keine Nebenbedingung gibt, wählen wir natürlich a=b=0. Da
muss also noch irgendwo etwas Sinnvolles stehen...

MfG Christian

[Thomas Weisbach]

Post by Christian Möller

Post by Thomas Weisbach
Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen die Abmessungen gewählt werden, damit die
Ummauerungskosten bei einer Tunnellänge von 200 m möglichst gering
werden?

...

Post by Christian Möller

Post by Thomas Weisbach
Tja, und nun fehlt mir irgendeine Nebenbedingung...

Richtig. Wenn es keine Nebenbedingung gibt, wählen wir natürlich a=b=0. Da
muss also noch irgendwo etwas Sinnvolles stehen...

Da steht aber nix weiter. Die Mathelehrerin meines Sohnes hat die
Aufgabe genau so formuliert, wie sie da oben steht...

[Roland Ertelt]

"Wie müssen die Abmessungen gewählt werden...?"
...
Wenn ich für A dann mal irgendeinen Wert nehme und ausrechne, ergibt
sich etwa a = 2b... Das erschließt sich mir aus den abstrakten Formeln
für a und b jedoch nicht... ;-)

Wenn a und b die Seiten des Rechteckes sind, ist das o.g. Ergebnis
offensichtilich das gesuchte Ergebnis. Diese Verhältnis ist
offensichtlich der Minimale Umfang für eine maximale Fläche...

Roland

[Roland Ertelt]

Post by Thomas Weisbach
Mein Sohn kam mit folgender Aufgabe gestern aus der Schule und ich muss
gestehen, wir finden die Lösung nicht... IMHO fehlt da was, um das zu
berechnen...
Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie
müssen die Abmessungen gewählt werden, damit die Ummauerungskosten bei
einer Tunnellänge von 200 m möglichst gering werden?
Die Länge des Tunnels ist eigentlich egal, da die Kosten natürlich
minimal werden, wenn der Umfang des Tunnels möglichst klein wird...
Rechteck mit Seiten a und b, wobei a die Breite des Tunnels ist. Damit
u = 2*b + a + 0,5*Pi*a
Tja, und nun fehlt mir irgendeine Nebenbedingung... Oder übersehen wir was?
Okay, wir könnten natürlich unausgesprochen davon ausgehen, dass der
Tunnel eine bestimmte Querschnittsfläche haben soll, aber das steht in
der Aufgabe nicht drin...
Aber versuchen wir es doch mal...
A = a*b + (Pi*a^2)/8
damit ergibt sich: b = A/a - (Pi+a)/8
u' = -2*A/a^2 + Pi/4 + 1
a = sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))
b = A/sqrt(Pi/4 + 1) - Pi/8 * sqrt(2*A/(Pi/4 + 1))
Schön sieht die Lösung nicht aus... Haben wir uns verrechnet?
Wenn ich für A dann mal irgendeinen Wert nehme und ausrechne, ergibt
sich etwa a = 2b... Das erschließt sich mir aus den abstrakten Formeln
für a und b jedoch nicht... ;-)

Kann das sein, dass die Ableitung nicht ganz passt?

Ich komme auf ein : u=2A/a-Pi/4+a/4+a+1/2(Pi*a) (ausmultipliziert)
also u'=-2A/a^2+1/4+1+Pi/2
Daraus lässt sich die Quadtrat Gleichung
0=a^2-A/(5/5+Pi) gewinnen. Damit kriege ich für a:
a= A/2(5/2+Pi)+/- \sqrt{(A/2(5/2+Pi))^2}
a1=0;a2=A(5/2+Pi)

Nach reichlich umbasteln kriege ich für b:
b=5/2+Pi-A/(20/Pi+8)

Stimmt, irgendwas fehlt noch... eine Angabe für b oder a.

Roland