Post by ViktorHi,
ist eine Zufallsvariable von sich selbst unabhängig ??
Sprich, kann ich folgendes verwenden ??
E(X*X) = E(X)*E(X) ??? (E=Erwartungswert)
Nein, ganz im Gegenteil. Die Groesse E(X*X) - E(X)*E(X) ist eine
wichtige Groesse in der Stochastik. Sie hoert auf den Namen Varianz.
Die Quadratwurzel aus der Varianz heisst Standardabweichung. Die
Varianz ist der Erwartungswert des Quadrats der Abweichung von X vom
Erwartungswert E(X).
V(X) = E((X-E(X))^2) = E ( X^2 - 2*X*E(X) + E(X)^2 )
= E(X^2) - E(2*X*E(X)) + E(E(X)^2)
= E(X^2) - 2*E(X)^2 + E(X)^2
= E(X^2) - E(X)^2
Ausser wenn X mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant ist, d.h. wenn fuer
irgendein c gilt
P(X=c) = 1
ist E(X^2) groesser als E(X)^2, d.h. E(X^2)-E(X)^2 > 0
Dass eine variable Groesse von sich selbst abhaengig ist, sollte auch
intuitiv klar sein.
An der Form
E(X-E(X))^2)
erkennt man sofort, dass das Ding i.A. >= 0 ist. (X-E(X))^2 ist eine
ZV, die niemals negativ ist. Sie kann nur dann den Erwartungswert 0
haben, wenn sie mit Wahrscheinlichkeit 1 groesser als 0 ist, d.h. wenn
mit Wahrscheinlichkeit 1 X=E(X). Dies bedeutet wiederum, dass X fast
sicher konstant ist.
MfG
Horst